Spēlmaņa maldi
Pārliecība, ka rezultāts ir „nokavējies”, jo tas kādu laiku nav izkritis.
Pēc desmit sarkanajiem melnā varbūtība joprojām ir 18/37. Rats neko nepieraksta un nevienam neko nav parādā.
Maldi
Ja sarkanaislikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu → izkritis desmit reizes, daudziem spēlētājiem šķiet, ka melnaislikmeMelnaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 melnajiem skaitļiem. Franciski: noir.Lasīt visu → ir „nokavējies”, un viņi liek uz to. Citiem šķiet, ka sarkanais ir „karsts”, un viņi liek uz sarkano. Abi spriež no secības, kas jau beigusies, par griezienu, kas vēl nav noticis. BumbiņaaprīkojumsBumbiņaMazā bumbiņa, ko palaiž pa celiņu pretēji rotora griešanās virzienam. Mūsdienu bumbiņas ir no materiāla ivorine vai teflona, 18–21 mm.Lasīt visu → nezina, kādi bija pēdējie desmit griezieni; ligzdasaprīkojumsLigzdaViens no 37 numurētajiem nodalījumiem uz rotora. Arī: slot, cup.Lasīt visu → ir tikpat lielas kā pirms stundas; melnā varbūtībamatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → ir 18/37, kā vienmēr.
Kāpēc tas šķiet patiesi
Ilgtermiņā sarkanā un melnā īpatsvars tiešām tuvojas 18/37 katram. To garantē lielo skaitļu likumsmatemātikaLielo skaitļu likumsNeatkarīgu rezultātu vidējais konverģē uz sagaidāmo vērtību, pieaugot mēģinājumu skaitam.Lasīt visu →. Taču tuvošanās notiek atšķaidoties, nevis izlīdzinoties: pēc vēl 1000 griezieniem desmit liekie sarkanie īpatsvarā ir noapaļošanas kļūda – nevis tāpēc, ka melnais panāca sarkano, bet tāpēc, ka izlase kļuva lielāka. Nav neviena mehānisma, kas padarītu melno varbūtīgāku, un lielo skaitļu likumam tāds nav vajadzīgs.
Montekarlo, 1913. gada 18. augusts
Pie kāda galda Casino de Monte-Carlo melnais izkrita 26 reizes pēc kārtas. Sākot aptuveni ar piecpadsmito melno, spēlētāji gāza likmes uz sarkano, dubultojot un atkal dubultojot, un katrs grieziens šķita „drošāks” par iepriekšējo. Kazino laimēja miljoniem franku. Šādas sērijas varbūtība, skaitot no pirmā melnā, bija 1 no 137 miljoniem, bet varbūtība, ka tā agrāk vai vēlāk notiks kaut kur pasaules kazino, bija praktiski viens. Tieši tāpēc spēlmaņa maldus sauc arī par Montekarlo maldiem.
Nekas īpašs. Notiek vienu reizi no 44.
Spēlētāji sāk pamanīt. Sarkanais ir „nokavējies”.
Pie galda drūzma. Likmes uz sarkano pēc katra zaudējuma dubulto.
Zaudētas bagātības. Katrs jauns melnais liek sarkanajam šķist vēl drošākam.
Sērija beidzas. Kazino laimējis miljoniem franku no cilvēkiem, kas lika pret sēriju, kura nevarēja „zināt”, ka tā ir sērija.
Karstā roka
Likt uz krāsu tāpēc, ka tai ir sērija, ir tā pati kļūda otrādi: sagaida, ka sērija turpināsies, nevis beigsies. Psihologi to sauc par karsto rokumītsKarstā rokaPārliecība, ka laimestu vai viena iznākuma sērija padara nākamo tādu pašu ticamāku. Pie rata tie ir spēlmaņa maldi, apgriezti otrādi.Lasīt visu → (hot hand) pēc Gilovich, Vallone un Tversky 1985. gada pētījuma, kurā viņi meklēja sērijas basketbola metienos un neatrada neko vairāk par nejaušību. 2018. gadā Miller un Sanjurjo parādīja, ka pats tests bijis sašķiebts: īsā ierakstā trāpījumu īpatsvars tūlīt pēc trāpījuma vidēji iznāk zemāks par metēja kopējo rādītāju, tāpēc spēlētājs bez jebkādas karstās rokas izskatās nedaudz „auksts”. Pēc labojuma tie paši dati rāda nelielu karsto roku. Cilvēks var iesildīties; ratam nav formas, kurā būt. Daži spēlētāji tic abam vienlaikus: sērija turpinās, līdz kļūst „par garu”, un tad beidzas. Pie godīga rata katram variantam ir tāda pati sagaidāmā vērtībamatemātikaSagaidāmā vērtībaVidējais vienas likmes rezultāts ilgtermiņā. Katrai standarta Eiropas ruletes likmei −1/37 no likmes. Matemātikā arī: matemātiskā cerība.Lasīt visu → kā krāsas izvēlei, metot monētu: −2,70% no likmes.
Pie īsta galda
Pētnieki Croson un Sundali (2005) noskatījās 18 stundu drošības kameru ierakstus no viena galda ar divām nullēmratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu → lielā kazino Reno: 139 spēlētāji veica 24 131 likmi. 1:1 likmēslikmeLikme ar izmaksu 1:1Sarkanais/melnais, nepāra/pāra, lielie/mazie. 18 skaitļi, izmaksā 1:1.Lasīt visu → spēlētāji aptuveni vienādi dalījās starp tiem, kas sekoja īsām sērijām, un tiem, kas lika pret tām. Pēc piecām vienādām pēc kārtas viņi sliecās likt pret sēriju, un pēc sešām vai vairāk 85% viņu likmju bija uz pretējo pusi. Tie paši spēlētāji pret sevi izturējās pēc karstās rokas principa: pēc laimesta uz skaitļiem viņi nākamajā griezienā vidēji nosedza 13,6 skaitļus, bet pēc zaudējuma – 9,2. Viņu ratam nebija nekādu nobīdes pazīmju, tāpēc nekas no tā nemainīja to, ko jebkurš no viņiem varēja sagaidīt.
Ārpus kazino
Tā pati tieksme parādās tur, kur tiek pieņemti īsti lēmumi. Clotfelter un Cook (1993) sekoja Merilendas ikdienas skaitļu loterijai: uz skaitli liktā nauda strauji kritās, tiklīdz tas bija izlozēts, un atjaunojās vairākus mēnešus, lai gan izlozei nav atmiņas. Chen, Moskowitz un Shue (2016) to atrada profesionāļu vidū. ASV patvēruma lietu tiesneši atteica lietu par līdz pat 3,3 procentpunktiem biežāk, ja iepriekšējā lietā patvērumu bija piešķīruši. Beisbola tiesneši pēc pasludināta strike nākamo strike pasludināja par 1,5 punktiem retāk, bet tuviem metieniem šī starpība bija vairāk nekā divreiz lielāka. Lauka eksperimentā ar kredītspeciālistiem, kuriem maksāja fiksētu samaksu, šādā veidā tika mainīti līdz pat 9% lēmumu. Lietas pienāca nejaušā secībā, tāpēc pēdējais lēmums neko neliecināja par nākamo, tāpat kā pēdējais grieziens neko neliecina par nākamo.
Apgrieztie spēlmaņa maldi
Filozofs Ian Hacking (1987) nosauca trešo variantu. Kāds ienāk istabā, redz, ka metiens ar diviem kauliņiem uzmet divus sešniekus, un secina, ka tie noteikti mesti jau daudzas reizes. Katrā metienā divi sešnieki ir vienlīdz varbūtīgi – vai tas ir vakara pirmais metiens, vai tūkstošais –, tāpēc šis skats neko nepasaka par to, cik ilgi spēle jau notiek. Ruletē tas ir spēlētājs, kurš pienāk pie tablo ar astoņiem sarkanajiem un nolemj, ka galdam jāgriežas jau stundām, lai tos sagrieztu. Parastie maldi iztulko pagātni nākamajā griezienā; šie iztulko retu skatu pagātnē, ko neviens neredzēja.
Psihologs, kurš tam ticēja
Maldiem ir bijuši arī mācīti aizstāvji. Vācu psihologs Karl Marbe izskatīja četrus reģistrus ar 49 152 dzimšanām katrā, atklāja, ka garākā zēnu vai meiteņu sērija pēc kārtas ir 17, un secināja, ka garas sērijas ir retākas, nekā pieļauj nejaušība, tātad sērija padara otru iznākumu varbūtīgāku. Nejaušība vien saka citu: 196 608 dzimšanās 17 vai garāka sērija parādās aptuveni četrās reizēs no piecām. Marbe bija atradis tieši to, kā izskatās nejauša virkne. Epstein (2013) šo gadījumu atstāsta; lapā „Sēriju varbūtība” ir ruletes versija.
Kur maldi nav piemērojami
Ja ratam būtu fiziska nobīde, iepriekšējie griezieni sniegtu informāciju, jo tie liecinātu par ligzdām, nevis par veiksmi. Tā ir Laboratorijas tēma, un, lai kaut ko apgalvotu, vajag tūkstošiem griezienu no viena noteikta rata. Desmit sarkano sērijai uz nezināma rata nobīdes skaidrojums ir daudz mazāk varbūtīgs nekā nejaušības skaidrojums.
Jautājumi
Nē. Tie attiecas uz jebkuru neatkarīgu atkārtotu notikumu: kauliņiem, monētām, loterijas skaitļiem.
Īpatsvari kļūs tuvi. Tavs rezultāts joprojām būs aptuveni −2,70% no tā, ko liki.
Vidējo lielumu likuma nav. Ir lielo skaitļu likums, un tas darbojas atšķaidot.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
Pēc 10 metieniem monēta rāda 7 ģerboņus un 3 ciparus. Pēc 1000 metieniem tā rāda 517 ģerboņus un 483 ciparus. Vai cipari panāca ģerboņus?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Nē. Starpība pieauga no 4 līdz 34. Tikai attiecība pietuvojās vienādai.
Ģerboņu un ciparu attiecība samazinājās no 7/3, aptuveni 2,33, līdz 517/483, aptuveni 1,07. Tas ir lielo skaitļu likumsmatemātikaLielo skaitļu likumsNeatkarīgu rezultātu vidējais konverģē uz sagaidāmo vērtību, pieaugot mēģinājumu skaitam.Lasīt visu → darbībā.
Starpība starp tiem pieauga – no 4 līdz 34. Ar godīgu monētu aptuveni 30 liela starpība pēc 1000 metieniem ir parasta lieta: tipiskā starpība aug aptuveni proporcionāli metienu skaita kvadrātsaknei, kamēr attiecība nostabilizējas pie 1.
Nekas ciparus atpakaļ nepievilka. Agrīnais ģerboņu pārpalikums tika atšķaidīts ar nākamajiem 990 metieniem, nevis izlabots.
Met monētu četras reizes un skaties tikai uz metieniem, kas seko tūlīt pēc ģerboņa. Kāda daļa no tiem ir ģerboņi? Izrēķini to katrai no 16 iespējamām virknēm un ņem šo daļu vidējo. Vai tie ir 50%?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Nē. Tie ir 17/42, aptuveni 40,5%. Šādi skatoties, šķiet, ka godīga monēta pēc ģerboņa atdziest.
Uzraksti visas 16 virknes (G – ģerbonis, C – cipars). Divās no tām, CCCC un CCCG, pirmajos trīs metienos nav ģerboņa, tāpēc pēc ģerboņa nekas neseko; paliek 14.
Katrā no tām ņem metienus, kas seko ģerbonim, un atrodi, kāda daļa no tiem ir ģerboņi. GGGG dod 3 no 3. GGGC dod 2 no 3. GCGC dod 0 no 2. Izejot cauri visām 14: sešas virknes dod 0, četras dod 1/2, viena dod 2/3 un trīs dod 1 (GGGG, CGGG un CCGG).
Saskaiti daļas: 4 × 1/2 + 2/3 + 3 = 17/3. Izdali ar 14: 17/42 ≈ 40,5%.
Neviens metiens nedod priekšroku cipariem; katrs ir 50–50. Šķiebums rodas no vidējošanas pa virknēm: virkne, kas pilna ar ģerboņiem, dod daudz metienu, uz ko skatīties, bet skaitās vienreiz – tāpat kā virkne ar vienu vienīgu. Miller un Sanjurjo (2018) parādīja, ka 1985. gada karstās rokas pētījums savus basketbolistus bija mērījis tieši šādi, tāpēc spēlētāji, kuru sērijas nešķita garākas par nejaušības radītajām, patiesībā bija nedaudz sērijaināki.
Mirklis humoram
Atšķaidīšana, nevis izlīdzināšana. Rats nevienam neko nav parādā.
Avoti
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Schwartz, D. G. Roll the Bones: The History of Gambling.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Croson, R. & Sundali, J. “The gambler’s fallacy and the hot hand: empirical data from casinos.”
- Chen, D. L., Moskowitz, T. J. & Shue, K. “Decision making under the gambler’s fallacy: evidence from asylum judges, loan officers, and baseball umpires.”
- Clotfelter, C. T. & Cook, P. J. “The ‘gambler’s fallacy’ in lottery play.”
- Gilovich, T., Vallone, R. & Tversky, A. “The hot hand in basketball: on the misperception of random sequences.”
- Miller, J. B. & Sanjurjo, A. “Surprised by the hot hand fallacy? A truth in the law of small numbers.”
- Hacking, I. “The inverse gambler’s fallacy: the argument from design. The anthropic principle applied to Wheeler universes.”