Izputēšanas risks
Varbūtība zaudēt visu spēles budžetu, pirms sasniegts mērķis.
1:1 likmēm izputēšanas risku apraksta spēlmaņa izputēšanas formula. Ar $500 spēles budžetu, $10 likmēm un $600 mērķi tu mērķi sasniedz aptuveni 57% gadījumu, bet pārējos izputi.
Jautājums
Tev ir a vienībasnaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu → spēles budžeta (bankroll)naudaSpēles budžets (bankroll)Kopējā spēlei atvēlētā summa. Spēles budžeta pārvaldība ir lēmums, cik lielu tā daļu riskēt vienā likmē un vienā sesijā.Lasīt visu →, un tu gribi sasniegt a + b vienības, liekot pa vienai vienībai uz likmi ar izmaksu 1:1likmeLikme ar izmaksu 1:1Sarkanais/melnais, nepāra/pāra, lielie/mazie. 18 skaitļi, izmaksā 1:1.Lasīt visu → ar laimesta varbūtībumatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → p = 18/37 un zaudējuma varbūtību q = 19/37. Kāda ir varbūtība, ka tu sasniegsi mērķi, pirms nonāksi pie nulles? Atbildi 1650. gados izstrādāja Blēzs Paskāls (Blaise Pascal), Pjērs de Fermā (Pierre de Fermat) un Kristiāns Heigenss (Christiaan Huygens), un tas ir viens no senākajiem rezultātiem varbūtību teorijā.
Spēlmaņa izputēšanas formula
P(mērķis sasniegts) = (1 − (q/p)ᵃ) / (1 − (q/p)ᵃ⁺ᵇ). Izputēšanas risksmatemātikaIzputēšanas risksVarbūtība zaudēt visu spēles budžetu, pirms sasniegts mērķis vai griezienu skaits.Lasīt visu → ir viens mīnus šī vērtība. Ja q/p = 19/18 ≈ 1,0556, attiecība aug eksponenciāli atkarībā no vienību skaita, tāpēc formula bargi soda mazas vienības: jo vairāk likmju vajag līdz mērķim, jo vairāk reižu pa ceļam jāmaksā 2,70% nodeva.
Kā to lasīt
Mazas vienības kaitē. Mēģinājums dubultot $500 ar $10 likmēm izdodas 6% gadījumu; ar vienu $500 likmi tas izdodas 48,6% gadījumu. Drosmīga spēle – mazāk un lielākas likmes – spēlē ar negatīvu sagaidāmo vērtību maksimizē varbūtību sasniegt mērķi, jo tā minimizē reižu skaitu, kad tiek piemērots pārsvars. Tā arī maksimizē dispersijumatemātikaDispersijaMērs tam, cik plaši rezultāti izkliedējas ap sagaidāmo vērtību. Liela likmei uz vienu skaitli, maza 1:1 likmēm.Lasīt visu → tam, kas ar tevi notiks, un vakars beidzas ātri. Teorēma saucas „drosmīga spēle ir optimāla”, un to 1965. gadā pierādīja Dubins un Savage.
Kur problēma sākās
Šis jautājums ir vecāks par ruleti. 1656. gadā Paskāls uzdeva Fermā mīklu: divi spēlētāji met trīs kauliņus, katram sākumā ir 12 žetonu; metiens ar summu 11 pārvieto žetonu uz vienu pusi, metiens ar summu 14 – uz otru. Abi to atrisināja, un Heigenss, kurš par to uzzināja no matemātiķa Pierre de Carcavi vēstules, 1657. gadā publicēja to kā piekto uzdevumu pirmajā grāmatā par varbūtību – ar atbildi un bez pierādījuma. Vienpadsmit var uzmest 27 veidos, bet četrpadsmit – tikai 15 veidos, tāpēc katrs žetons pārvietojas par labu pirmajam spēlētājam 9 reizes no 14, un iepriekš minētā formula ar 12 žetoniem katram dod viņam aptuveni 1157 reizes lielāku varbūtību laimēt visu nekā zaudēt visu. 2,70% pārsvars ir daudz mazāks, taču tā pati formula rāda, ko tas izdara daudzās likmēs.
Īsta drosmīga likme
2004. gada aprīlī jauns anglis Ashley Revell pārdeva gandrīz visu, kas viņam piederēja, ieskaitot drēbes, un aizveda $135 300 uz Plaza Lasvegasā. Pēc dažām nelielām likmēm viņš visu summu vienu reizi lika uz sarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu →. BumbiņaaprīkojumsBumbiņaMazā bumbiņa, ko palaiž pa celiņu pretēji rotora griešanās virzienam. Mūsdienu bumbiņas ir no materiāla ivorine vai teflona, 18–21 mm.Lasīt visu → nokrita uz sarkanā 7, un viņš aizgāja ar $270 600. Uz rata ar divām nullēmratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu → šī viena grieziena varbūtība bija 47,37%, un tas viņam vidēji izmaksāja $7121 – 5,26% pārsvars vienā likmē. Sadalot to pašu mērķi $10 likmēs, tas būtu gandrīz bezcerīgs. Drosmīga spēle nepadara likmi labu; tā padara to pēc iespējas īsāku.
Izputēšanas risks bez mērķa
Ja tu vienkārši spēlē, līdz izputi, vai apstājies pēc N griezieniem, jautājums kļūst: „Kāda ir varbūtība, ka mans spēles budžets N griezienos nokritīs līdz nullei?” Vispārīgam N slēgtas formulas nav, bet šīs vietnes simulatori to aprēķina: $500 spēles budžets ar $10 uz sarkano 100 griezienos gandrīz nekad neizput (mazāk par 1%), 500 griezienos izput aptuveni 9% gadījumu un 5000 griezienos – aptuveni 95% gadījumu. Bez apstāšanās noteikuma varbūtība tiecas uz 100%, un tā ir kazino pārsvaramatemātikaKazino pārsvarsKatras likmes daļa, ko kazino vidēji patur: Eiropas ruletē 2,70%.Lasīt visu → ilgtermiņa versija.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediāna −$500
- p75 +$0
- p90 +$350
Cik ilgi un cik tālu plusos
Vēl divi klasiski rezultāti atbild uz jautājumiem, ko spēlētāji patiešām uzdod. Bez mērķa nemainīgas 1:1 likmes Eiropas ratā vidēji ilgst 37 griezienus uz katru spēles budžeta vienību, bet amerikāņu ratā – 19, jo katrs grieziens vidēji paņem 1/37 vienības (amerikāņu ratā 1/19): 100 vienības vidēji ilgst 3700 griezienus, lai gan puse šādu sesiju beidzas 3134 griezienos (skat. „Sesijas ilgums un cena”). Un neatkarīgi no spēles budžeta lieluma varbūtība Eiropas ratā kādreiz būt k vienības plusos ir (18/19)ᵏ. Tie ir 95% vienai vienībai un 58% desmit vienībām, taču neviens spēles budžets, lai cik dziļš, nedod vienlīdzīgas izredzes kādreiz būt 13 vienības plusos; amerikāņu ratā varbūtība ir (9/10)ᵏ un pie 7 vienībām nokrītas zem pusei.
Spēles budžets vienlīdzīgām izredzēm
Apgriez jautājumu otrādi: cik daudz jāatnes, lai būtu vismaz vienlīdzīgas izredzes laimēt noteiktu summu, pirms zaudēts viss? Nelielam laimestam – ne pārāk daudz. Lielākam vajadzīgais spēles budžets strauji aug, un no kāda brīža neviens spēles budžets nav pietiekams, jo pat bezgalīgs dod mazāk nekā vienlīdzīgas izredzes kādreiz tikt tik tālu plusos. Taylor (2021) to izsaka citādi: amerikāņu ratā, lai būtu vienlīdzīgas izredzes sasniegt 100 vienības, jāsāk ar 94, riskējot ar 94, lai laimētu 6. Eiropas ratā vajadzētu 88.
Praktiskā mācība
Izlem, ko tu mēģini panākt. Ja mērķis ir konkrēts laimests, liec lielas likmes un maz. Ja mērķis ir garš vakars, liec mazas likmes un pieņem, ka pārsvars paņems savus 2,70% no liela apgrozījumanaudaApgrozījumsLikmju kopsumma sesijas vai laika posma gaitā, ieskaitot atkārtoti liktos laimestus. Arī: handle, action.Lasīt visu →. Ja mērķis ir abi, no kaut kā jāatsakās, un parasti tas ir mērķis.
Formula
Jautājumi
MartingalestratēģijaMartingaleProgresija, kas pēc katra zaudējuma dubulto likmi. Par to, ko tā dara un ko nedara, lasi sadaļā „Stratēģija”.Lasīt visu → sistēma to samazina īsās sesijās un dramatiski palielina garās. Spēle ar nemainīgu likmistratēģijaSpēle ar nemainīgu likmiVienas un tās pašas summas likšana katrā griezienā. Atskaites punkts, ar ko salīdzina katru progresiju.Lasīt visu → ar lielāku vienību ir godīgais veids, kā to samazināt.
Iepriekš minētā formula ir 1:1 likmēm. Likmēm ar lielu dispersiju izputēšana pie mazām likmēm ir varbūtīgāka, un mērķis tiek sasniegts nevienmērīgāk; izmanto kalkulatoru.
Katrs solis uz mērķi ir mazliet mazāk varbūtīgs nekā katrs solis uz izputēšanu; attiecība uzkrājas līdz ar soļu skaitu.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
Tev ir $100, un tu gribi $1000, liekot tikai uz sarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu →. Pirmais plāns: likt pa $1 reizē. Otrais plāns: likt visu, kas tev ir, līdz pārsniedz $500, tad tikai tik, cik vajag, lai sasniegtu $1000. Kurš plāns ir labāks, un par cik?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Otrais, ar lielu pārsvaru. Tas sasniedz $1000 apmēram 9,0% gadījumu, tuvu taisnīgajiem 10%. Pirmais plāns izdodas apmēram 7 reizes no 10²².
Taisnīgā spēlēmatemātikaTaisnīga spēleSpēle, kurā nevienai pusei nav pārsvara: katras likmes sagaidāmā vērtība ir nulle.Lasīt visu → tu no $100 sasniegtu $1000 vienu reizi no desmit, lai ko tu darītu, jo tavas naudas vidējā vērtība paliek $100.
Kazino pārsvars paņem 2,70% no katras likmes, tāpēc, jo mazāk tu kopā liec, jo tuvāk paliec vienai reizei no desmit. Otrais plāns lietu izšķir ar nedaudzām likmēm: $100 kļūst par $200, $400, $800, un tad pietiek ar $200. Tas izdodas apmēram 9,0% gadījumu. Pirmajam plānam vajag tūkstošiem likmju, līdz klejojums beidzas, un pārsvars, kas katrā no tām ir mazs, summējas gandrīz drošā izputēšanā.
Tas ir Dubins un Savage rezultāts vienkāršākajā formā (Epstein, 2013): spēlē, kas dod pārsvaru kazino, liec tik, cik vajag, un pēc iespējas mazāk reižu.
Tev ir $500, un tu gribi $1000, apstājoties, tiklīdz tie ir. Tu izvēlies vienu likmes veidu un atkārto to, līdz tā vienu reizi laimē vai nauda beidzas. Kurš veids dod vislabāko varbūtību?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Viena $500 likme uz sarkano: 48,6%. Katrs plāns, kas sadala naudu mazākās likmēs, dod sliktāku rezultātu.
Izvēlies katru likmi tā, lai pietiktu ar vienu laimestu: $30 likmē uz vienu skaitli (straight up)likmeViens skaitlis (straight up)Viens skaitlis, izmaksā 35:1.Lasīt visu → laimē $1050, $60 likmē uz diviem skaitļiem (split)likmeDivi skaitļi (split)Divi blakus esoši skaitļi, izmaksā 17:1.Lasīt visu → laimē $1020, un tā tālāk. Tad saskaiti varbūtību, ka vismaz viena likme laimē, pirms nauda beidzas. Sešpadsmit $30 likmes uz vienu skaitli visas netrāpa ar varbūtību (36/37)¹⁶ = 64,5%, tātad tās sasniedz $1000 35,5% gadījumu.
Tabulā redzama katra likme. Vislabāk veicas sarkanajam, jo tas mērķi sasniedz ar vienu likmi, tāpēc pārsvars tiek samaksāts vienu reizi, no $500. Otrā ir likme uz sešiem skaitļiem (six line)likmeSeši skaitļi (six line)Seši skaitļi divās blakus rindās, izmaksā 5:1. Franciski: sixain.Lasīt visu →, jo tai vajag tikai trīs. Viena likme uz ducilikmeDucis1–12, 13–24 vai 25–36, izmaksā 2:1.Lasīt visu → ir vissliktākā, izredzes 12/37; pat ja duci spēlē pa $250 vienībāmnaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu →, līdz ir $1000 vai vairāk, tas mērķi sasniedz tikai 46,4% gadījumu.
Bollman (2024) sastāda tādu pašu tabulu amerikāņu ratam. Viņa duča rindā ir kļūda: tur jābūt 12/38 = 31,6%.
likmelikmes summa × likmju skaitsvarbūtība sasniegt $1000Viens skaitlis (straight up)$30 × 1635,5%Divi skaitļi (split)$60 × 835,9%Trīs skaitļi (street)$90 × 534,5%Četri skaitļi (corner)$125 × 436,7%Seši skaitļi (six line)$166, $166, $16841,2%Ducis$500 × 132,4%Sarkanais$500 × 148,6%Tu liec vienu vienību uz sarkano griezienu pēc grieziena, ar spēles budžetu (bankroll)naudaSpēles budžets (bankroll)Kopējā spēlei atvēlētā summa. Spēles budžeta pārvaldība ir lēmums, cik lielu tā daļu riskēt vienā likmē un vienā sesijā.Lasīt visu →, kas nekad nebeidzas. Pēc pirmā grieziena tu esi vienu vienību plusos vai mīnusos. Kāda ir varbūtība, ka tu kādreiz atkal būsi tieši nullē?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde 36 no 37, 97,3%. Uz amerikāņu rata tas ir 36 no 38, 94,7%.
Ja pirmais grieziens laimē (18 reizes no 37), tu esi vienu vienību plusos, un pārsvars velk katru bezgalīgu sesiju lejup, tāpēc agrāk vai vēlāk tu atkal šķērso nulli: tas ir droši. Ja tas zaudē (19 reizes no 37), tev jāuzkāpj par vienu vienību, un varbūtība kādreiz būt vienu vienību plusos ir 18/19 (sk. tabulu augstāk).
Kopā: 18/37 + 19/37 × 18/19 = 18/37 + 18/37 = 36/37.
Vispārīgi varbūtība ir 1 mīnus starpība starp grieziena laimēšanas un zaudēšanas varbūtībām: 1 − 1/37 uz Eiropas rata, 1 − 2/38 uz amerikāņu rata. Spēlē bez nullesratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu → starpības nav un varbūtība ir 1: rezultāts vienmēr atgriežas nullē. Epstein (2013) dod vispārējo likumu.
Blēza Paskāla (Blaise Pascal) 1656. gada uzdevums: divi spēlētāji met trīs kauliņus, katram sākumā ir 12 žetoni. Katrs 11 pārvieto vienu žetonu pie pirmā spēlētāja, katrs 14 vienu pie otrā; citi metieni neskaitās. Cik liela ir varbūtība, ka pirmais spēlētājs iegūs visus 24? Un ja tu tā vietā katrā griezienā liec 1 vienību uz sarkano pret draugu, kas darbojas kā banka, katram 12 vienības, cik liela ir varbūtība, ka tu iegūsi visas 24?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Pirmais spēlētājs uzvar apmēram 1157 reizes no 1158. Tu, liekot uz sarkano, iegūsti visas 24 vienības tikai apmēram 34% gadījumu.
Trīs kauliņi dod 11 27 veidos un 14 15 veidos, tāpēc katrs žetons, kas pārvietojas, nonāk pie pirmā spēlētāja 27 reizes no 42, 9 reizes no 14. Ja katra puse sāk ar 12, varbūtība paņemt visu ir 1/(1 + r¹²), kur r ir otras puses varbūtības attiecība pret tavējo.
Pirmajam spēlētājam r = 5/9, un (5/9)¹² ≈ 0,00086, tātad varbūtība ir apmēram 0,99914: izredzes 9¹² pret 5¹², jeb 282 429 536 481 pret 244 140 625, apmēram 1157 pret 1. Kristiāns Heigenss (Christiaan Huygens) 1657. gadā publicēja tieši šos skaitļus.
Uz sarkanā r = 19/18 nulles dēļ, un (19/18)¹² ≈ 1,913: tava varbūtība ir 1/2,913 ≈ 34,3%. Monēta dotu 50%. 2,70% pārsvars katrā likmē daudzajās vajadzīgajās likmēs summējas 16 punktu starpībā.
Mirklis humoram
Drosmīga spēle ir optimāla. Un tā arī ātri beidzas.
Avoti
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2nd ed.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2nd ed.
- Carcavi, P. de. Vēstule Heigensam, 1656. gada 28. septembris, par uzdevumu, ko Paskāls uzdeva Fermā.
- Huygens, C. De Ratiociniis in Ludo Aleae.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Reuters. “Briton bets it all on roulette spin, and wins.”
- Las Vegas Sun. “Man wagers life’s worth.”