Dispersija
Kāpēc likme uz vienu skaitli un likme uz sarkano ar vienādu sagaidāmo zaudējumumatemātikaSagaidāmais zaudējumsSagaidāmā vērtība, reizināta ar likmju kopsummu; vidējā summa, ko zaudē sesijas vai laika posma gaitā.Lasīt visu → šķiet kā divas dažādas spēles.
Dispersija mēra, cik plaši rezultāti izkliedējas ap sagaidāmo vērtību. Uz vienu likmes vienību tā ir aptuveni 34 likmei uz vienu skaitli un aptuveni 1 likmei uz sarkano.
Formula vienai likmei
Likmei, kas izmaksā W pret 1 ar varbūtībumatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → p, rezultāts uz vienu vienībunaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu → ir +W ar varbūtību p un −1 ar varbūtību 1 − p. Sagaidāmā vērtībamatemātikaSagaidāmā vērtībaVidējais vienas likmes rezultāts ilgtermiņā. Katrai standarta Eiropas ruletes likmei −1/37 no likmes. Matemātikā arī: matemātiskā cerība.Lasīt visu → ir pW − (1 − p) = −1/37. DispersijamatemātikaDispersijaMērs tam, cik plaši rezultāti izkliedējas ap sagaidāmo vērtību. Liela likmei uz vienu skaitli, maza 1:1 likmēm.Lasīt visu → ir E[X²] − EV² = pW² + (1 − p) − (1/37)². Likmei uz vienu skaitlilikmeViens skaitlis (straight up)Viens skaitlis, izmaksā 35:1.Lasīt visu →: (1/37)(1225) + 36/37 − 0,0007 ≈ 34,08. Likmei uz sarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu →: 18/37 + 19/37 − 0,0007 ≈ 0,999.
Ko tas nozīmē sesijai
Neatkarīgu griezienumatemātikaNeatkarīgi griezieniKatram griezienam ir vienas un tās pašas varbūtības neatkarīgi no vēstures. Visu šīs vietnes aprēķinu pamats.Lasīt visu → dispersijas summējas, tāpēc N griezienos ar nemainīgu likmi kopsummas dispersija ir N × likme² × σ², bet standartnovirzematemātikaStandartnovirzeKvadrātsakne no dispersijas; rezultāta tipiskais attālums no sagaidāmās vērtības.Lasīt visu → ir σ × likme × √N. 100 griezieni pa $10: standartnovirze ir aptuveni $584 likmēm uz vienu skaitli un $100 likmēm uz sarkano, ap to pašu sagaidāmo −$27. Viens spēlētājs redz rezultātus svārstāmies par simtiem; otrs redz lēnu slīdēšanu. Abi maksā vienu un to pašu cenu.
Dispersija un sistēmas
ProgresijastratēģijaProgresijaJebkurš noteikums, kas maina likmi atkarībā no iepriekšējiem rezultātiem. Negatīvās progresijas to palielina pēc zaudējumiem, pozitīvās – pēc laimestiem.Lasīt visu → nemaina EV uz vienu likmē ielikto vienību, bet maina gan likmju kopsummu, gan sadalījuma formu. MartingalestratēģijaMartingaleProgresija, kas pēc katra zaudējuma dubulto likmi. Par to, ko tā dara un ko nedara, lasi sadaļā „Stratēģija”.Lasīt visu → sistēma samazina vairuma sesiju dispersiju (daudz mazu laimestu) un pievieno resnu asti (retu lielu zaudējumu); kopējā dispersija pa visām sesijām ir lielāka nekā spēlei ar nemainīgu likmistratēģijaSpēle ar nemainīgu likmiVienas un tās pašas summas likšana katrā griezienā. Atskaites punkts, ar ko salīdzina katru progresiju.Lasīt visu → tieši šīs astes dēļ. ParolistratēģijaParoliPozitīvā progresija: dubulto pēc laimesta, sāc no sākuma pēc zaudējuma vai pēc trim laimestiem pēc kārtas. Arī: apgrieztā Martingale.Lasīt visu → sistēma dara pretējo. Izvēlēties sistēmu nozīmē izvēlēties dispersijas profilu; vidējais nav izvēlnē.
- p10 −$500
- p25 −$500
- mediāna −$500
- p75 +$40
- p90 +$1120
Ruletes stratēģija ar nemainīgu likmiParoli stratēģija ruletē (apgrieztā Martingale)
Kāpēc tas ir svarīgi spēlētājam
Dispersija padara īsas sesijas neparedzamas un garas paredzamas. Ar σ = $100 un EV = −$27 100 griezienos pārsvars ir ceturtdaļa no trokšņa, un sesija plusos ir parasta lieta. 10 000 griezienos EV ir −$2700 un σ ir $1000; pārsvars nu ir gandrīz trīs reizes lielāks par troksni, un laimējoša sērija ir trīs sigmu notikums. Īstermiņā dispersija ir spēlētāja draugs, ilgtermiņā – kazino draugs.
Likmju kombinācijas dispersija
Vairākām likmēm vienā griezienā iznākumi ir korelēti (trāpījums 17 ir arī trāpījums melnajamlikmeMelnaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 melnajiem skaitļiem. Franciski: noir.Lasīt visu → un otrajam ducimlikmeDucis1–12, 13–24 vai 25–36, izmaksā 2:1.Lasīt visu →), tāpēc dispersijas vienkārši nesummējas. Rīks „Likmju konstruktors” aprēķina precīzu sadalījumu jebkurai žetonunaudaŽetonsPlāksnīte, kas apzīmē noteiktu summu; to novieto uz likmju lauka, lai veiktu likmi. Arī: cheque.Lasīt visu → kombinācijai, pārskaitot visus 37 iznākumus, un tas ir vienīgais pareizais veids, kā to izdarīt.
Formula
Jautājumi
Nē. Visām likmēm ir vienāda sagaidāmā vērtība. Lielāka dispersija nozīmē lielākas svārstības ap to.
1:1 likmēmlikmeLikme ar izmaksu 1:1Sarkanais/melnais, nepāra/pāra, lielie/mazie. 18 skaitļi, izmaksā 1:1.Lasīt visu →, σ ≈ 1 uz vienību. Vēl mazāka ar noteikumu la partagenoteikumsLa partageFranču noteikums: ja izkrīt nulle, puse no 1:1 likmes tiek atdota. Šīm likmēm kazino pārsvaru samazina uz pusi – līdz 1,35%.Lasīt visu →, kas uzlabo arī vidējo.
Sagaidāmā peļņa uz dolāru ir tāda pati; dispersija ietekmē tikai to, cik nevienmērīgi ir kazino ienākumi, un kazino ir tūkstošiem spēlētāju, kas tos izlīdzina.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
Divi spēlētāji katrs liek $1 griezienā 100 griezienus uz Eiropas rata, viens vienmēr uz sarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu →, otrs vienmēr uz 17. Kuram ir lielāka varbūtība beigās būt plusos?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Spēlētājam uz 17: 50,9%, salīdzinot ar 35,5% sarkanajam. Abi vidēji zaudē $2,70.
Sarkanais: spēlētājs ir plusos ar 51 vai vairāk laimestiem no 100, katrs ar varbūtībumatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → 18/37. Binomiālais sadalījums dod 35,5%, un tieši 50 laimesti, bezzaudējumu punkts, vēl 7,7%.
Skaitlis 17: katrs laimests atdod $36, tāpēc ar diviem laimestiem (−$28) nepietiek, bet ar trim (+$8) pietiek. Varbūtība, ka 100 griezienos pie 1/37 būs trīs vai vairāk trāpījumu, ir 50,9%.
Spēlētājs ar likmi uz vienu skaitli biežāk ir plusos, bet rezultāti ir lēcienveidīgāki: viens trāpījums vairāk vai mazāk maina rezultātu par $36, un tie spēlētāji, kuri ir mīnusos, parasti ir dziļāk mīnusos. Bollman (2024) dod skaitļus amerikāņu ratam, 26,5% un 49,2%.
Mirklis humoram
Vienāds sagaidāmais zaudējums. Viens no viņiem par to paziņo skaļi.
Avoti
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.