Uzdevums: galda limits
Martingale sistēma ar $10 sākuma likmi pie galda ar $500 limitu. Cik bieži tā salūzt, cik tā zaudē, kad salūzt, un vai augstāks limits palīdz?
To salauž seši zaudējumi pēc kārtas: 1,8% vienā ciklā, aptuveni 60% no 100 griezienu sesijām. Salūšana maksā $630. Paceļot limitu līdz $5000, salūšana kļūst retāka (0,25% vienā ciklā) un lielāka ($5110). Sagaidāmais zaudējums uz likmēs ielikto dolāru pie jebkura limita ir 2,70%.
Uzdevums
Spēlētājs liek $10 uz sarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu → un pēc katra zaudējuma dubulto likmi, bet pēc laimesta sāk no jauna. Galda maksimālā likme ir $500. (a) Cik zaudējumu pēc kārtas salauž progresijustratēģijaProgresijaJebkurš noteikums, kas maina likmi atkarībā no iepriekšējiem rezultātiem. Negatīvās progresijas to palielina pēc zaudējumiem, pozitīvās – pēc laimestiem.Lasīt visu →? (b) Kāda ir varbūtībamatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → vienā ciklā? (c) Cik tiek zaudēts salūšanas brīdī? (d) Kā atbildes maina $5000 limits? (e) Vai kāds limits padara sistēmu ienesīgu?
Atrisinājumi (a)–(c)
Likmes: 10, 20, 40, 80, 160, 320. Septītā būtu 640 > 500, tātad seši zaudējumi to salauž. (b) p(zaudējums) = 19/37 uz sarkano; (19/37)⁶ = 0,0183, aptuveni 1,8% vienā ciklā. Cikls vidēji ilgst aptuveni divus griezienus, tāpēc 100 griezienu sesijā ir ap 50 cikliem un p(vismaz viena salūšana) ≈ 1 − 0,9817⁵⁰ ≈ 60%. (c) 10 + 20 + 40 + 80 + 160 + 320 = $630, kas ir 63 sākuma vienībasnaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu →, pret $10, ko cikls mēģināja laimēt.
Atrisinājums (d)
Pie $5000: atļautas likmes līdz 2560; desmitā likme, 5120, tiek noraidīta. Deviņi zaudējumi to salauž: (19/37)⁹ ≈ 0,25% vienā ciklā, aptuveni 11% no 100 griezienu sesijām. Zaudējums salūšanas brīdī: 10 + 20 + … + 2560 = $5110. Spēlētājs ir nopircis retāku katastrofu par lielākas katastrofas cenu. Daudzās sesijās salūšanu sagaidāmā cena ir p × zaudējums ≈ 0,0183 × 630 = $11,5 vienā ciklā pie $500 limita un 0,0025 × 5110 = $12,8 pie $5000; noapaļošanas robežās tas ir viens un tas pats skaitlis, un tas ir cikla sagaidāmais zaudējumsmatemātikaSagaidāmais zaudējumsSagaidāmā vērtība, reizināta ar likmju kopsummu; vidējā summa, ko zaudē sesijas vai laika posma gaitā.Lasīt visu → mīnus $10, ko nopelna laimīgie cikli.
Atrisinājums (e)
Nē. Sagaidāmais zaudējums ciklā = (sagaidāmā kopējā likme ciklā) / 37 pie jebkura limita, jo katra likme ir −1/37 no sevis. Limits tikai nosaka, kā zaudējums sadalās starp daudziem maziem laimestiem un dažiem lieliem zaudējumiem. Bez limita un ar bezgalīgu spēles budžetu (bankroll)naudaSpēles budžets (bankroll)Kopējā spēlei atvēlētā summa. Spēles budžeta pārvaldība ir lēmums, cik lielu tā daļu riskēt vienā likmē un vienā sesijā.Lasīt visu → progresija „darbotos” tādā ziņā, ka tā nekad nesalūztu, un tā arī liktu neierobežotu summu ar sagaidāmo zaudējumu 2,70% no šīs neierobežotās summas. Ne jau galda limitsgaldsGalda limitsAtļautā minimālā un maksimālā likme. Maksimums ir tas, kas aptur dubultošanas progresijas.Lasīt visu → neļauj MartingalestratēģijaMartingaleProgresija, kas pēc katra zaudējuma dubulto likmi. Par to, ko tā dara un ko nedara, lasi sadaļā „Stratēģija”.Lasīt visu → sistēmai darboties. To neļauj aritmētika.
Divi īsti galdi
Torpa (Thorp) piemērs ir $1 galds ar $1000 maksimumu, kur spēlētājs cer pa dolāram laimēt $30 vakariņām. Likmes 1, 2, 4 … 512 ļauj desmit likmes, tāpēc desmit zaudējumi pēc kārtas salauž progresiju: vienu reizi no 785 cikliem uz Eiropas rata (vienu reizi no 613 uz amerikāņu rata), un tas maksā $1023. Visi trīsdesmit cikli izdodas 96,2% gadījumu. Pārējos 3,8% zaudē ap $1000, un vakara vidējais rezultāts ir −$9,17, kas ir tieši 1/37 no $339, ko trīsdesmit cikli vidēji liek. $5 galds ar $2000 maksimumu neatšķiras: likmes līdz $1280 ļauj deviņas likmes, un salūšana pienāk vienu reizi no 403 cikliem uz Eiropas rata (vienu reizi no 323 uz amerikāņu rata) un maksā $2555.
Bagāts spēlētājs
Dosim progresijai dziļu spēles budžetu zema limita vietā: 1000 vienību, vienas vienības sākuma likme un 1000 griezienu uz sarkano, sākot atkal ar vienu vienību, kad nākamā dubultošana pārsniedz atlikušo. Mēs simulējām miljonu šādu vakaru. Uz Eiropas rata 52% beidz plusos, 21% zaudē visu, un vidējais rezultāts ir −124 vienības. Pat spēlē bez nullesratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu →, kur katra likme ir taisnīga, tikai aptuveni 60% beigtu plusos. Parastais vakars ir neliels laimests; par vidējo samaksā vakari, kas beidzas ar nulli.
Mācība
Kazino nosaka limitus, lai ierobežotu savu dispersijumatemātikaDispersijaMērs tam, cik plaši rezultāti izkliedējas ap sagaidāmo vērtību. Liela likmei uz vienu skaitli, maza 1:1 likmēm.Lasīt visu →, nevis lai uzvarētu sistēmas. Martingale sistēmas sakāve ir blakusefekts, kas kazino patīk, un aritmētika to sakautu tik un tā. Spēlētājs, kurš domā, ka problēma ir limits, ir atradis krauju un sajaucis to ar slīpumu.
Formula
Jautājumi
Tas ļauj izdzīvot līdz augstākam limitam, kur salūšana ir retāka un lielāka. Sagaidāmais zaudējums uz dolāru nemainās.
Likmes 10, 30, 70, 150, 310: $500 limits tiek sasniegts pēc pieciem zaudējumiem, un salūšana maksā $570. Tie paši 2,70%.
Lai viens spēlētājs nevarētu likt vairāk, nekā kazino rezerve var ērti izmaksāt. Dispersijas pārvaldība.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
MartingalestratēģijaMartingaleProgresija, kas pēc katra zaudējuma dubulto likmi. Par to, ko tā dara un ko nedara, lasi sadaļā „Stratēģija”.Lasīt visu → sistēma sāk ar $100 uz sarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu → un atļauj sev ne vairāk kā n likmes ciklā: pēc n zaudējumiem pēc kārtas tā padodas un sāk no jauna. Uzraksti viena cikla vidējo rezultātu kā formulu no n un aprēķini to 5, 6 un 7 likmēm uz Eiropas rata.
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Vidējais ir 100 × (1 − (38/37)ⁿ): −$14,26 pie 5 likmēm, −$17,35 pie 6 un −$20,52 pie 7. Vairāk atļauto likmju padara vidējo ciklu sliktāku, nevis labāku.
Cikls laimē $100, ja vien visas n likmes nezaudē, kas notiek ar varbūtību qⁿ, kur q = 19/37. Kad tās visas zaudē, likmes 100, 200 … 100 × 2ⁿ⁻¹ summējas līdz 100 × (2ⁿ − 1). Tātad vidējais ir 100 × (1 − qⁿ) − 100 × (2ⁿ − 1) × qⁿ = 100 × (1 − (2q)ⁿ).
Šeit 2q = 38/37, nedaudz vairāk par 1, tāpēc (2q)ⁿ aug līdz ar n un vidējais krītas: n = 5 dod 1,1426 un −$14,26; n = 6 dod 1,1735 un −$17,35; n = 7 dod 1,2052 un −$20,52. Garākas kāpnes zaudē retāk, 3,6%, 1,8% un 0,9% ciklu, bet katrs zaudējums ir divreiz lielāks, un katrā ciklā pār galdu pārvietojas vairāk naudas, ar 2,70% no katras likmes.
Uz amerikāņu rata 2q = 40/38, un skaitļi ir −$29,24, −$36,04 un −$43,20 (Taylor, 2021). Spēlē bez nullesratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu → 2q = 1, un katrs cikls vidēji dod tieši nulli, lai cik garas būtu kāpnes.
„Lielā Martingale” pēc zaudējuma divkāršo likmi un pieliek vienu vienībunaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu →, tāpēc likmes ir 1, 3, 7, 15, 31 … Par cik tu esi plusos, ja pirmais laimests ir 1., 2., 3. vai k-tajā likmē? Pie $10 vienības un $500 maksimuma cik bieži cikls salūzt, un cik cikls maksā vidēji?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Laimests k-tajā likmē atstāj tevi k vienības plusos: +1, +2, +3 un tā tālāk. Pie $10 un $500 cikls salūzt pēc pieciem zaudējumiem, 3,57% ciklu, par −$570. Vidēji cikls zaudē $2,32 no $85,73 liktajiem: 2,70%.
k-tā likme ir 2ᵏ − 1 vienības: 1, 3, 7, 15, 31. Pirmās k − 1 likmes summējas līdz 2ᵏ − 2 − (k − 1) = 2ᵏ − k − 1. Laimests k-tajā likmē izmaksā 2ᵏ − 1, tātad cikls beidzas ar (2ᵏ − 1) − (2ᵏ − k − 1) = k vienībām plusos: viena papildu vienība par katru zaudējumu pirms laimesta.
Pie $10 vienības likmes ir $10, $30, $70, $150 un $310; nākamā, $630, pārsniedz $500 maksimumu. Pieci zaudējumi pēc kārtas, (19/37)⁵ = 3,57%, maksā 10 + 30 + 70 + 150 + 310 = $570.
Vidēji: laimesti ienes $10 × k ar varbūtību (19/37)ᵏ⁻¹ × 18/37, kur k ir no 1 līdz 5, un salūšana paņem $570 ar varbūtību 3,57%; kopā −$2,32. Likmēs ieliktā nauda vidēji ir $85,73 ciklā, un 2,32/85,73 = 2,70%. Parastā Martingale sistēma pie tā paša galda salūzt pēc sešiem zaudējumiem, 1,83% ciklu, par −$630, un zaudē $1,74 no $64,20 liktajiem: atkal 2,70%.
Spēlētājs plāno spēlēt pēc Martingale sistēmas uz sarkano ar $1 pirmo likmi pie galda, kura limits ir $1000, tātad iespējamas desmit likmes: $1, $2, $4 un tā tālāk līdz $512. Cik bieži cikls zaudē visas desmit, cik ilgi tas vidēji prasa, un cik bieži 200 likmju vakars beidzas šādi?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Cikls zaudē visas desmit apmēram vienu reizi no 784, un tas maksā $1023. Tas vidēji ir apmēram 1600 likmes, un 200 likmju vakars atduras pret sienu apmēram 11% gadījumu. Cikls tik un tā vidēji zaudē $0,31 no $11,31 liktajiem: 2,70%.
Likme uz sarkano zaudē ar varbūtību 19/37, ieskaitot nulli. Desmit pēc kārtas: (19/37)¹⁰ ≈ 0,00128, apmēram 1 no 784. Likmes 1 + 2 + 4 + … + 512 summējas līdz $1023.
Cikls vidēji prasa 2,05 likmes, tātad 784 cikli prasa apmēram 1600 likmes. Skaitot griezienu pa griezienam, desmit zaudējumu sērija kaut kur 200 likmēs gadās 11,3% gadījumu.
Starp katastrofām spēlētājs laimē $1 ciklā: apmēram $783 pirms sliktā cikla, tad −$1023, apmēram −$240 par visu posmu. Uz ciklu: 1 × (1 − 0,00128) − 1023 × 0,00128 ≈ −$0,31. Likmēs ieliktā nauda uz ciklu: 1 + 2 × (19/37) + 4 × (19/37)² + … + 512 × (19/37)⁹ ≈ $11,31. Un −0,31/11,31 = −2,70%.
Salīdzini ar $10 pirmo likmi pie $500 limita, sešas likmes: siena pienāk vienu reizi 55 ciklos, un 200 likmju vakars pret to atduras 84% gadījumu. Augstāks limits padara sabrukumu retāku un lielāku, nevis lētāku.
Mirklis humoram
Retāk, bet dārgāk – pie jebkura limita. Reizinājums ir nemainīgs.
Avoti
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2. izd.