Uzdevums: dzimšanas dienu rats
Pēc cik griezieniem kāds skaitlis atkārtosies? Daudz ātrāk, nekā vairums cilvēku domā.
Dzimšanas dienu uzdevums uz rata ar 37 ligzdāmaprīkojumsLigzdaViens no 37 numurētajiem nodalījumiem uz rotora. Arī: slot, cup.Lasīt visu →: jau pēc 8 griezieniem varbūtība, ka kāds skaitlis jau parādījies divreiz, ir lielāka par pusi. Spēlētāji atkārtojumus uztver kā likumsakarības; tā ir godīga rata sagaidāmā uzvedība.
Uzdevums
Griez godīgu Eiropas ratu. Pēc cik griezieniem varbūtībamatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu →, ka vismaz divos griezienos izkritis viens un tas pats skaitlis, pārsniedz pusi? Vairums spēlētāju min kaut kur ap 18 vai 19, pusi no 37. Atbilde ir 8.
Atrisinājums
Aprēķini varbūtību, ka atkārtojuma nav, un atņem to no viena. Pēc k griezieniem p(visi atšķirīgi) = (37/37)(36/37)(35/37)…((38 − k)/37). Ja k = 8: 1 × 0,973 × 0,946 × 0,919 × 0,892 × 0,865 × 0,838 × 0,811 ≈ 0,44, tātad p(kāds atkārtojums) ≈ 0,56. Ja k = 14, tā ir 0,93; ja k = 20 – 0,996. Intuīcija kļūdās, jo griezienu pāru skaits aug kā k², un sakrist var jebkurš pāris.
Kāpēc tas ir svarīgi pie galda
Rezultātu tablo ar pēdējiem 20 skaitļiem gandrīz vienmēr rāda vismaz vienu atkārtojumu, bieži divus vai trīs. Spēlētāji redz „17 izkrita divreiz desmit griezienos” un secina, ka 17 ir karsts; dzimšanas dienu aritmētika saka, ka atkārtojums desmit griezienos notiek 74% gadījumu un atkārtotais skaitlis ir nejaušs. Likumsakarība ir īsta; nozīme nav.
Turpinājuma uzdevums
Pēc cik griezieniem konkrēts skaitlis, teiksim 17, būs parādījies divreiz? Tas ir cits jautājums ar daudz lielāku atbildi: sagaidāmais gaidīšanas laiks ir 74 griezieni, un varbūtība, ka 20 griezienos būs divi 17, ir aptuveni 10%. Atšķirība starp „kāds skaitlis atkārtojas” (8 griezieni) un „šis skaitlis atkārtojas” (74 griezieni) ir visa atšķirība starp likumsakarību, ko pamani pēc tam, un prognozi, ko izdari iepriekš.
Izmēģini
Palaid „Demo spēli” desmit griezieniem un apskati vēsturi. Parasti tur būs atkārtojums. Palaid vēlreiz. Atkārtotais skaitlis būs cits. Izdari to desmit reizes, un tu redzēsi dzimšanas dienu uzdevumumatemātikaDzimšanas dienu uzdevumsCik cilvēku vajag, lai diviem, visticamāk, būtu viena dzimšanas diena, vai cik griezienu, līdz kāds skaitlis, visticamāk, atkārtosies. Uz rata ar 37 ligzdām pietiek ar 8 griezieniem, lai iespēja būtu lielāka par pusi.Lasīt visu → darbībā; izdari to tūkstoš reižu (simulatori to spēj), un tu to izmērīsi.
Formula
Jautājumi
Tieši tas pats, tikai 37 ligzdas 365 dienu vietā. 23 cilvēki dod 50% dzimšanas dienām; 8 griezieni dod 56% ratam.
50% pēc aptuveni 19 griezieniem. Joprojām ikdienišķi.
Nē. Tūkstošiem griezienu no viena rata varētu liecināt; atkārtojums – nekad.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
Rezultātu tablo blakus amerikāņu ratam rāda pēdējos 16 griezienus. Kāda ir varbūtība, ka neviens skaitlis tajā neparādās divreiz?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Aptuveni 2,5%: apmēram 39 tablo no 40 rāda vismaz vienu atkārtojumu.
Ej grieziens pa griezienam. Pirmais grieziens var būt jebkas. Otrajam tas jāapiet: 37 gadījumi no 38. Trešajam jāapiet abi: 36 no 38. Sešpadsmitajam jāapiet piecpadsmit skaitļi: 23 no 38.
Sareizini: 38/38 × 37/38 × 36/38 × … × 23/38 ≈ 0,0246.
Tablo bez atkārtojuma ir retais gadījums. Tablo ar atkārtojumu neko nepasaka par ratu.
Kāda ir varbūtība, ka desmit Eiropas rata griezienos 17 izkritīs tieši piecas reizes? Ka kāds skaitlis, jebkurš, izkritīs piecas vai vairāk reizes? Un ka kāds skaitlis četros griezienos izkritīs vismaz trīs reizes?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde 17 tieši piecas reizes: 1 no 315 576. Kāds skaitlis piecas vai vairāk reizes: aptuveni 1 no 8333. Kāds skaitlis trīs vai vairāk reizes četros griezienos: 1 no 349.
17 piecas reizes: izvēlies, kuri pieci no desmit griezieniem, 252 veidi, katrs ar varbūtību (1/37)⁵ × (36/37)⁵. Kopā 1 no 315 576.
Kāds skaitlis: katram no 37 skaitļiem varbūtība izkrist piecas vai vairāk reizes ir 1 no 308 325, kas dod 37 no 308 325 jeb 1 no 8333. Retais gadījums, kad diviem skaitļiem ir katram pieci trāpījumi, tiek ieskaitīts divreiz, bet tā izslēgšana šādā precizitātē neko nemaina.
Trīs reizes četros griezienos: vienam skaitlim 4 × 36 + 1 = 145 no 37⁴ iespējamajiem rezultātiem; jebkuram no 37 skaitļiem 145/37³ = 1 no 349.
Wizard of Odds atbildēja uz šo jautājumu versijām ratam ar divām nullēmratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu →; mūsu skaitļi šim ratam ir 1 no 359 275, 1 no 9243 un 1 no 368. Atšķirība starp „17” un „kādu skaitli” atkal ir dzimšanas dienu uzdevumsmatemātikaDzimšanas dienu uzdevumsCik cilvēku vajag, lai diviem, visticamāk, būtu viena dzimšanas diena, vai cik griezienu, līdz kāds skaitlis, visticamāk, atkārtosies. Uz rata ar 37 ligzdām pietiek ar 8 griezieniem, lai iespēja būtu lielāka par pusi.Lasīt visu →: ir 37 veidi, kā tikt pārsteigtam.
Mirklis humoram
Kaut kas atkārtojas agri. Tas kaut kas ir nejaušs.
Avoti
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.
- Wizard of Odds. „Ask the Wizard”, jautājumi par ruleti.