Kellija kritērijs un rulete
Kellija kritērijs pasaka spēlētājam, kuram ir pārsvars, cik likt. Ruletei tas dod skaidru atbildi: neko.
Kellija likme = pārsvars / izredzes. Ar negatīvu pārsvaru formula dod negatīvu daļu, un tas nozīmē: neliec. Kritērijs tomēr palīdz saprast, kāpēc spēlētāji, kas izmantoja rata nobīdi, izvēlējās tieši tādus likmju lielumus, un kāpēc visiem pārējiem likmes lielums jānosaka pēc budžeta.
Kritērijs
Džons Kellijs (John Kelly, 1956) jautāja, kā spēlmanim ar zināmu pārsvaru jāizvēlas likmju lielums, lai maksimizētu spēles budžeta (bankroll)naudaSpēles budžets (bankroll)Kopējā spēlei atvēlētā summa. Spēles budžeta pārvaldība ir lēmums, cik lielu tā daļu riskēt vienā likmē un vienā sesijā.Lasīt visu → izaugsmi ilgtermiņā. Atbilde likmei, kas izmaksā b pret 1, ar laimesta varbūtībumatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → p un zaudējuma varbūtību q = 1 − p, ir likt daļu f* = (bp − q) / b no budžeta. Pozitīvs f* nozīmē likt šo daļu; nulle vai negatīvs nozīmē nelikt. Kellijs strādāja Bell Labs, un viņa raksts „A new interpretation of information rate” aplūkoja problēmu Kloda Šenona (Claude Shannon) informācijas teorijas ietvarā: spēlmanis, kas saņem padomus pa trokšņainu līniju un liek pēc taisnīgām izredzēm, var audzēt budžetu labākajā gadījumā tādā ātrumā, kādā līnija pārraida informāciju. 1961. gadā Leo Breimans (Leo Breiman) pierādīja, ka likmes pēc Kellija ilgtermiņā apsteidz jebkuru būtiski atšķirīgu stratēģiju un sasniedz izvirzītu mērķi aptuveni visīsākajā laikā.
Piemērots ruletei
SarkanajamlikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu →: b = 1, p = 18/37, q = 19/37; f* = (18/37 − 19/37)/1 = −1/37. Likmei uz vienu skaitli (straight up)likmeViens skaitlis (straight up)Viens skaitlis, izmaksā 35:1.Lasīt visu →: b = 35, p = 1/37, q = 36/37; f* = (35/37 − 36/37)/35 = −1/1295. Katra standarta likme dod negatīvu Kellija daļu, jo katrai likmei ir negatīvs pārsvars, un izaugsmei optimālā likme ir nulle. Kellijs ir formāls veids, kā pateikt to pašu, ko lapa „Kazino pārsvars”: nav tāda likmes lieluma, pie kura likme ar negatīvu sagaidāmo vērtību audzētu spēles budžetu.
Kur Kellijs bija piemērojams
Spēlētājiem, kas izmantoja rata nobīdi, bija pārsvars un likmju lieluma problēma. Džegeram, Garsijām-Pelajo (García-Pelayo) un grupai Eudaemons bija jāizlemj, cik likt uz izmērīto priekšrocību: pārāk mazas likmes izšķiež pārsvaru, bet pārāk lielas riskē izputēt, pirms pārsvars parādās. LigzdaiaprīkojumsLigzdaViens no 37 numurētajiem nodalījumiem uz rotora. Arī: slot, cup.Lasīt visu →, kas trāpa 1 no 30, Kellijs iesaka 0,57% no budžeta katrā griezienā uz šo skaitli: ar $10 000 tas ir aptuveni $57 griezienā, ar tipisku izaugsmi aptuveni 0,054% griezienā jeb ×1,7 1000 griezienos. Vidējais pieaugums ir divreiz lielāks, 0,11% griezienā, bet Kellijs tēmē uz tipisko budžetu, nevis vidējo, ko uzpūš dažas veiksmīgas sērijas. Puse Kellija ir parastā praktiskā izvēle, jo pārsvara novērtējums ir nedrošs.
Tipiskais un vidējais
Atšķirība starp tipisko un vidējo budžetu ir liela. Ņem ligzdu, kas trāpa 1 reizi no 25 – 44% pārsvars, skaitlis, ko Torps (Thorp) min savai ierīcei. Kellijs liek uz to 1,26% no budžeta. Pēc 1000 griezieniem tipiskais budžets ir pieaudzis aptuveni 11,5 reizes, bet vidējais, ko uzvelk dažas ļoti veiksmīgas sērijas, aptuveni 249 reizes. Likt vairāk par Kelliju paaugstina vidējo un pazemina tipisko rezultātu: ar divkāršu Kellija likmi tipiskais budžets tikai dubultojas, bet ar divarpus reizes lielāku tas sarūk, lai gan katrai likmei joprojām ir 44% pārsvars. Likt mazāk maksā maz: puse likmes saglabā aptuveni trīs ceturtdaļas izaugsmes.
Kad pārsvars ir minējums
Kellijs pieņem, ka pārsvars ir zināms. Pie galda to novērtē, un novērtējums parasti ir par augstu. Epšteina (Epstein) piemērs, balstīts uz Torpa 44%, ir skaitlis, kas trāpīja 49 reizes 1225 griezienos uz rata ar divām nullēmratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu →: 1 reizi no 25, 44% pārsvars, Kellija likme 1,26%. Taču godīgam ratam ar divām nullēm ir 38 skaitļi, un biežākais no tiem 1225 griezienos sasniedz 49 vai vairāk aptuveni vienu reizi no deviņām. Biežākais skaitlis jebkurā pierakstā ir arī tas, kam veiksme palīdzējusi visvairāk, tāpēc pat patiesi nobīdīta ligzda pierakstā izskatās labāka, nekā ir: uzvarētāja lāsts. Ja šī ligzda patiesībā nav nobīdīta, Kellija likme ir vienkārši likme, kas vidēji zaudē 5,26%. Parastās atbildes ir likt daļu no Kellija un turpināt skaitīt, līdz pārsvars izdzīvo jaunā pierakstā (skat. „Kā noteikt rata nobīdi”).
Cilvēki ar pārsvaru
Zināt pārsvaru nenozīmē to labi izmantot. Haghani un Dewey (2016) iedeva 61 cilvēkam pa $25, lai pusstundu liktu uz monētu, par kuru viņiem teica, ka tā 60% gadījumu krīt ar ģerboni uz augšu, un laimesti bija ierobežoti ar $250 (par ierobežojumu spēlētāji uzzināja tikai tad, kad to sasniedza). Kellijs iesaka katru reizi likt 20% no budžeta uz ģerboni, un autori lēš, ka vienmērīgas 10–20% likmes ierobežojumu sasniegtu aptuveni 95% gadījumu. Tur nokļuva tikai 21% spēlētāju. 28% izputēja, 18 no 61 vienā metienā lika visu, aptuveni trešdaļa beidza zem sākotnējiem $25, un vidējā izmaksanaudaIzmaksaTas, ko atnes laimējusi likme; to norāda kā „X pret 1” papildus atdotajai likmei.Lasīt visu → bija $91. Tikai pieci no 61 bija dzirdējuši par Kellija kritēriju. Ja pārsvars ir, likmju lielums izšķir, vai tu to saglabāsi; ja tā nav, kā pie godīga rata, nekāds lielums nelīdz.
Ko izmantot tā vietā
Bez pārsvara likmes lielums ir budžeta jautājums, nevis izaugsmes jautājums: likme = cik tu esi gatavs iztērēt vienā griezienā, ko nosaka stundas budžets un galda temps (lapa „Spēles budžeta pārvaldība”). Kellija ieguldījums parastam spēlētājam ir tā atbildes skaidrība: nulle. Viss, ko tu liec virs nulles, ir spēles cena, ko izvēlies tu, nevis optimizē kāda formula.
Piezīme par daļējo Kelliju un „naudas pārvaldību”
Sistēmas, ko pārdod kā „Kelliju ruletei” un kas iesaka katrai likmei fiksētu procentu no budžeta, ir spēle ar nemainīgu likmistratēģijaSpēle ar nemainīgu likmiVienas un tās pašas summas likšana katrā griezienā. Atskaites punkts, ar ko salīdzina katru progresiju.Lasīt visu →, kur likme sarūk. Tās zaudē 2,70% no apgrozījumanaudaApgrozījumsLikmju kopsumma sesijas vai laika posma gaitā, ieskaitot atkārtoti liktos laimestus. Arī: handle, action.Lasīt visu → un, tā kā likme zaudējot sarūk, padara izputēšanu lēnu, nevis maz ticamu. Tas ir saprātīgs veids, kā likt budžetam kalpot ilgāk; tas nav Kellijs, kurš teiktu apstāties.
Formula
Jautājumi
Tikai ar izmērītu pārsvaru no rata ar nobīdilaboratorijaRats ar nobīdiRats, kura fizisko defektu dēļ dažu ligzdu varbūtība ir lielāka par 1/37. Reti sastopams, konstatējams tikai ar tūkstošiem pierakstītu griezienu.Lasīt visu → vai laika mērīšanas ierīces. Ne pie godīga rata.
Tāpēc, ka pārsvara novērtējumam ir kļūda, un pārāk lielas likmes maksā dārgāk nekā pārāk mazas. Puse Kellija dod trīs ceturtdaļas izaugsmes ar ceturtdaļu dispersijasmatemātikaDispersijaMērs tam, cik plaši rezultāti izkliedējas ap sagaidāmo vērtību. Liela likmei uz vienu skaitli, maza 1:1 likmēm.Lasīt visu →.
Nē. Kellijs optimizē izaugsmi, ja ir pārsvars. Spēles budžeta pārvaldība kontrolē tēriņus, ja pārsvara nav.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
Prognozēšanas ierīce, ko izveidoja Thorp un Shannon, deva apmēram 44% pārsvaru. Likmei uz vienu prognozētu skaitli Kellija kritērijs iesaka likt 1,26% no spēles budžeta (bankroll)naudaSpēles budžets (bankroll)Kopējā spēlei atvēlētā summa. Spēles budžeta pārvaldība ir lēmums, cik lielu tā daļu riskēt vienā likmē un vienā sesijā.Lasīt visu →. Kā būtu, ja tas pats 44% pārsvars būtu vienai likmei, kas sadalīta pa pieciem blakus esošiem skaitļiem?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Tad Kellija kritērijs iesaka 7,1% no budžeta, un budžets aug gandrīz sešas reizes ātrāk: 1000 likmēs apmēram 1,25 miljonus reižu, salīdzinot ar apmēram 11,5 reizēm.
Likme uz vienu skaitli (straight up)likmeViens skaitlis (straight up)Viens skaitlis, izmaksā 35:1.Lasīt visu → ar 44% pārsvaru laimē ar varbūtību 0,04, jo 36 × 0,04 = 1,44. Kellija likme ir pārsvars, dalīts ar izredzēm: 0,44/35 = 1,26%. Tipiskais pieaugums uz likmi ir 0,04 × ln(1 + 35 × 0,0126) + 0,96 × ln(1 − 0,0126) ≈ 0,00244, tātad 1000 likmes budžetu pareizina apmēram ar e^2,44 ≈ 11,5.
Sadali vienu likmi pa pieciem skaitļiem, un likme laimē ar varbūtību 0,20 un izmaksā 36/5 par 1, tas ir, 6,2 pret 1: joprojām 44% pārsvars, jo 0,2 × 7,2 = 1,44. Kellija likme kļūst 0,44/6,2 = 7,10%, un pieaugums uz likmi 0,01404, apmēram 5,75 reizes vairāk. 1000 likmēs tas ir e^14,04, apmēram 1,25 miljoni.
Pārsvars ir tas pats; svārstības ir mazākas. Likme, kas laimē vienu reizi no piecām, var nest lielāku budžeta daļu, neriskējot ar izputēšanu, un Kellija pieaugums to atalgo. Thorp (1984) ar šo piemēru parāda, kāpēc prognozētāji liek uz sektoriemratsSektorsBlakus esošu ligzdu loks uz rata – atšķirībā no skaitļu grupas uz likmju lauka.Lasīt visu →. Praksē pieciem kaimiņiemlikmeKaimiņiSkaitlis un pa divām ligzdām katrā tā pusē uz rata – pieci žetoni, katrs uz sava skaitļa.Lasīt visu → pārsvars ir nedaudz mazāks nekā vienam labākajam skaitlim (sk. „Priekšrocību spēle (advantage play)”).
Spēlētājs ir atradis divas blakus esošas ligzdasaprīkojumsLigzdaViens no 37 numurētajiem nodalījumiem uz rotora. Arī: slot, cup.Lasīt visu →, katra no kurām trāpa 1 reizi no 25, nevis 1 no 37. Vai likt likmi uz diviem skaitļiem (split)likmeDivi skaitļi (split)Divi blakus esoši skaitļi, izmaksā 17:1.Lasīt visu → starp tām ar izmaksu 17 pret 1 vai katru skaitli atsevišķi kā likmi uz vienu skaitli? Cik iesaka Kellija kritērijs, un cik ātri aug budžets, salīdzinot ar vienu šādu ligzdu?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Nav nekādas atšķirības: 2,59% no budžeta split likmē vai 1,29% uz katru skaitli. Tipiskais budžets 1000 griezienos pieaug apmēram 155 reizes, salīdzinot ar 11,5 reizēm ar vienu ligzdu.
Split likme laimē ar varbūtībumatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → 2/25 = 0,08 un izmaksā 17 pret 1, tātad tā atdod 18 × 0,08 = 1,44 uz katru likto vienībunaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu →: 44% pārsvars, tāds pats kā vienai ligzdai ar nobīdi. Kellija likme ir pārsvars, dalīts ar izredzēm: 0,44/17 = 2,59%.
Divas likmes uz vienu skaitli pa 1,29% dod tieši tādus pašus rezultātus. Kad izkrīt kāds no skaitļiem, viens žetonsnaudaŽetonsPlāksnīte, kas apzīmē noteiktu summu; to novieto uz likmju lauka, lai veiktu likmi. Arī: cheque.Lasīt visu → laimē 35 pret 1, bet otrs tiek zaudēts, neto 34 × 1,29% = 44% no budžeta, tieši kā izmaksā split likme; kad neizkrīt neviens, abi tiek zaudēti.
Pieaugums uz griezienu ir 0,00505, salīdzinot ar 0,00244 vienai ligzdai, tāpēc 1000 griezienos tipiskais budžets pieaug e^5,046 ≈ 155 reizes, nevis e^2,44 ≈ 11,5 reizes. Divi labi skaitļi ir vērti daudz vairāk nekā divreiz viens, tāpēc nobīdes spēlētāji liek uz skaitļu grupām. Thorp (1984) izdara tādu pašu salīdzinājumu.
Mirklis humoram
Izaugsmei optimālā ruletes likme ir skaitlis, ko visi jau zina.
Avoti
- Kelly, J. L. „A new interpretation of information rate.”
- Breiman, L. „Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. „Optimal gambling systems for favorable games.”
- Thorp, E. O. The Mathematics of Gambling.
- Epstein, R. A. The Theory of Gambling and Statistical Logic, 2. izd.
- Taylor, D. G. Games, Gambling, and Probability: An Introduction to Mathematics, 2. izd.
- Ethier, S. N. The Doctrine of Chances: Probabilistic Aspects of Gambling.
- Haghani, V. & Dewey, R. „Rational decision-making under uncertainty: observed betting patterns on a biased coin.”