Konverģence ilgtermiņā: lielo skaitļu likums ruletē
Kā vidējais rezultāts tuvojas −2,70% un kāpēc tas notiek lēnāk, nekā liek domāt intuīcija.
Vidējais zaudējums uz vienu griezienu, griezieniem uzkrājoties, tuvojas −1/37, un izkliede sarūk kā 1/√N. Pēc 1000 griezieniem uz sarkano vidējais parasti ir ±3% robežās no sagaidāmā.
Lielo skaitļu likums
Neatkarīgu likmju slīdošais vidējais tiecas uz sagaidāmo vērtībumatemātikaSagaidāmā vērtībaVidējais vienas likmes rezultāts ilgtermiņā. Katrai standarta Eiropas ruletes likmei −1/37 no likmes. Matemātikā arī: matemātiskā cerība.Lasīt visu →. Pēc N griezieniem ar 1:1 likmi vienas vienībasnaudaVienībaPamatlikme, kurā rēķina sistēma vai spēlētājs. Progresijas apraksta vienībās, lai tās derētu pie jebkura galda.Lasīt visu → apmērā vidējā rezultāta uz griezienu sagaidāmā vērtība ir −1/37 un standartnovirzematemātikaStandartnovirzeKvadrātsakne no dispersijas; rezultāta tipiskais attālums no sagaidāmās vērtības.Lasīt visu → 1/√N. Pie N = 100 šī izkliede ir 10% no likmes, gandrīz četras reizes vairāk par 2,7% signālu. Pie N = 1000 tā ir 3,2%, aptuveni tikpat, cik signāls. Pie N = 10 000 tā ir 1%, un pārsvars ir skaidri redzams. Vienā sesijā pārsvars nav saskatāms, gada laikā to nevar nepamanīt.
Kas konverģē un kas ne
Vidējais uz griezienu konverģē. Kopsumma ne: N augot, tā attālinās no nulles, sagaidāmi par aptuveni 2,7% no N, ar izkliedi √N ap šo vērtību. Spēlētājam, kurš nospēlējis 10 000 griezienu pa $10, sagaidāmais zaudējums ir $2700, plus mīnus $1000. SarkanolikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu → īpatsvars sen jau ir nostabilizējies pie 48,65%; atlikums nav nostabilizējies nekur.
- p10 −$440
- p25 −$280
- mediāna −$140
- p75 +$0
- p90 +$140
Kāpēc intuīcija kļūdās
Cilvēki gaida, ka pārsvars parādīsies ātri, jo 2,70% izklausās daudz, un gaida, ka garās sērijas „izlīdzināsies”, jo lielo skaitļu likumsmatemātikaLielo skaitļu likumsNeatkarīgu rezultātu vidējais konverģē uz sagaidāmo vērtību, pieaugot mēģinājumu skaitam.Lasīt visu → saka, ka vidējie konverģē. Abas intuīcijas kļūdās mērogā: pārsvars ir mazs salīdzinājumā ar viena grieziena dispersijumatemātikaDispersijaMērs tam, cik plaši rezultāti izkliedējas ap sagaidāmo vērtību. Liela likmei uz vienu skaitli, maza 1:1 likmēm.Lasīt visu → (σ = 1 vienība pret EV = 0,027), tāpēc vajag (1/0,027)² ≈ 1400 griezienu, lai tas kļūtu redzams vienas sigmas līmenī. Un vidējā konverģence nemaz nevelk kopsummu atpakaļ; tā tikai atšķaida pagātnes svārstības.
Konverģence citām likmēm
Likmēm uz vienu skaitli (straight up)likmeViens skaitlis (straight up)Viens skaitlis, izmaksā 35:1.Lasīt visu → σ = 5,84, tāpēc tas pats aprēķins dod (5,84/0,027)² ≈ 47 000 griezienu, līdz pārsvars sasniedz vienu sigmu. Spēlētājs, kurš liek uz vienu skaitli, var spēlēt gadiem, un viņa paša pierakstos pārsvaru nevarēs atšķirt no veiksmes, lai gan viņš maksā tieši tos pašus 2,70%, ko spēlētājs uz sarkano, kurš to ierauga dažu nedēļu laikā.
Ko tas nozīmē sistēmu pārbaudei
Ikvienam, kurš apgalvo, ka sistēma darbojas, būtu jāspēj to parādīt 10 000 vai vairāk griezienos ar dokumentētu pozitīvu vidējo. Pie 1000 griezieniem pozitīvs vidējais 1:1 likmēm pēc nulles hipotēzes ir notikums ar varbūtību viens no pieciem; pie 100 griezieniem tas ir gandrīz monētas mešana. Šīs vietnes simulatori sekundē izspēlē 2000 tevis izvēlēta garuma sesiju, un tas ir vairāk pierādījumu nekā jebkura atsauksme.
Formula
Jautājumi
VarbūtībamatemātikaVarbūtībaIznākuma iespējamība no 0 līdz 1 jeb no 0% līdz 100%. Viens skaitlis: 1/37 = 2,70%.Lasīt visu → jebkad atkal būt plusos, spēlei turpinoties, tiecas uz nulli. Kopsumma bez ierobežojuma slīd uz leju.
Nē. Tā nozīmē, ka pagātnes svārstības kļūst par mazāku daļu no lielākas izlases.
1:1 likmēm – aptuveni pēc 10 000, līdz pārsvars kļūst skaidri redzams. Likmēm uz vienu skaitli – aptuveni pēc 50 000.
Matemātika prieka pēc
Vispirms mēģini atrisināt patstāvīgi. Katrs atrisinājums ir paslēpts; atver to, kad vēlies.
Divi draugi spēlē 20 kārtas taisnīgā spēlēmatemātikaTaisnīga spēleSpēle, kurā nevienai pusei nav pārsvara: katras likmes sagaidāmā vērtība ir nulle.Lasīt visu →, monētas mešanā vai sarkanaislikmeSarkanaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 sarkanajiem skaitļiem. Franciski: rouge.Lasīt visu → pret melnolikmeMelnaisLikme ar izmaksu 1:1 uz 18 melnajiem skaitļiem. Franciski: noir.Lasīt visu → ar atdotām nullēmratsNulleVienīgā zaļā ligzda, ko nenosedz neviena 1:1 likme, neviena duča vai kolonnas likme; kazino pārsvara avots. Arī: viena nulle, 0.Lasīt visu →, un skaita kopējo rezultātu. Saskaiti kārtas, kurās katrs ir vadībā (neizšķirts tiek tam, kurš vadīja tieši pirms tam). Kas ir varbūtīgāk: ka vadība sadalās 10 kārtas pret 10 vai ka viens draugs vada visas 20?
Rādīt atrisinājumu
Atbilde Daudz varbūtīgāk ir, ka viens draugs vada visas 20 kārtas: 35,2%, skaitot jebkuru no draugiem, salīdzinot ar 6,1% par vienlīdzīgu 10 pret 10.
Varbūtība, ka taisnīgas spēles kopējais rezultāts pēc 2k kārtām ir vienāds, ir u = C(2k, k)/2²ᵏ: 0,246 pēc 10 kārtām un 0,176 pēc 20. Klasisks rezultāts, arksinusa likums, saka, ka varbūtība, ka viens noteikts draugs vada tieši 2k no 2n kārtām, ir u(2k) × u(2n − 2k).
Vadīt visas 20: u(20) × u(0) = 0,176 katram draugam, 35,2% jebkuram no abiem. Vienlīdzīgs sadalījums: u(10) × u(10) = 0,246² = 6,1%, visnevarbūtīgākais sadalījums no visiem.
Tātad taisnīgā spēlē vadība reti pāriet no viena pie otra. Spēlētājs, kurš visu vakaru bijis vadībā vai visu vakaru atpalicis, nav redzējis neko neparastu, un tas neko nesaka ne par ratu, ne par prasmi. Epstein (2013) dod to pašu likumu garākām spēlēm: pusē gadījumu veiksmīgākā puse vada vairāk nekā 85% spēles laika.
Mirklis humoram
Vidējais konverģē. Kopsumma vienkārši aiziet.
Avoti
- Bernoulli, J. Ars Conjectandi.
- Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1.